Дискриминатор частоты оптимальный при малом отношении сигнал/шум — различия между версиями

Версия 12:15, 2 ноября 2015

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Содержание

1 Особенности работы
2 Дискриминационная характеристика
3 Флуктуационная характеристика
- 3.1 Сравнение с другими ЧД

Дискриминатор описывается выражением

$u_{D \omega, k} = I_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})I'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) + Q_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})Q'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})$ ,

где
$I_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)\mbox{cos}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$ ,
$Q_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)\mbox{sin}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$ ,
$I'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = -\sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)(l-1)T_d\mbox{sin}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$ ,
$Q'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)(l-1)T_d\mbox{cos}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$ ,
$L=\frac{T}{{{T}_{d}}}$ - число отсчетов за время $T$ интегрирования в корреляторе, $T_d$ - интервал дискретизации.

Особенности работы

Для работы дискриминатора требуется формирование особенных квадратур $I'_k, Q'_k$ . Они представляют собой обычные квадратуры, умноженные на линейно-возрастающую функцию $(l-1)T_d$ (индекс времени $l$ растет - множитель растет). Аппаратно такой коррелятор не реализован. Есть предложение ^[1] заменить честный расчет $I'_k, Q'_k$ суммой взвешенных корреляционных сумм:

$I'_{k}\left( {{{\tilde{\tau }}}_{k}},{{{\tilde{\omega }}}_{{{d}^{{}}}k}} \right)\approx -{{T}_{1}}\sum\limits_{n_{1}^{{}}=1}^{N_{1}^{{}}}{n_{1}^{{}}{{Q}_{{{n}_{1}},k}}\left( {{{\tilde{\tau }}}_{k}},{{{\tilde{\omega }}}_{{{d}^{{}}}k}} \right)},$
$Q'_{k}\left( {{{\tilde{\tau }}}_{k}},{{{\tilde{\omega }}}_{{{d}^{{}}}k}} \right)\approx {{T}_{1}}\sum\limits_{n_{1}^{{}}=1}^{N_{1}^{{}}}{n_{1}^{{}}{{I}_{{{n}_{1}},k}}\left( {{{\tilde{\tau }}}_{k}},{{{\tilde{\omega }}}_{{{d}^{{}}}k}} \right)}.$

По этой методике весь интервал интегрирования в корреляторе разбивается на $N_1$ равных частей длительностью $T_1$ . На этих малых интервалах рассчитываются традиционные корреляционные суммы $I_{n_1, k}, Q_{n_1, k}$ , а потом проводится их взвешенное суммирование. Чем больше $N_1$ , тем точнее оказывается приведенная методика. Допустим "большой" коррелятор копит $T = 10$ мс, тогда целесообразно выбрать $T_1 = 1$ мс и $N_1 = 10$ .

Дискриминационная характеристика

Сделано допущение, что $\varepsilon_{\omega,k-1} = \varepsilon_{\omega,k}$ .

$U(\varepsilon_\omega) = A_{IQ}^2\rho(\varepsilon_{\tau,k})\rho(\varepsilon_{\tau,k-1})\mbox{sinc}^2(\varepsilon_{\omega,k-1}T/2)\mbox{sin}(\varepsilon_{\omega,k-1}T),$

где $A_{IQ} = \frac{AL}{2}$ , $A$ - амплитуда сигнала $y(t_{k,l})$ , $L$ - количество отчетов, накапливаемых в корреляторе, $\varepsilon$ - разность истинного и опорного параметров.

Крутизна дискриминационной характеристики при нулевой расстройке по частоте: $S_D = A_{IQ}^2T$ .

В модели задержка сигнала полагалась известной: $\rho(\varepsilon_{\tau,k}), \rho(\varepsilon_{\tau,k-1}) = 1$ .

Дискриминационная характеристика при различных временах накопления:

Дискриминационная характеристика при T=1 мс
Дискриминационная характеристика при T=5 мс

Флуктуационная характеристика

Дисперсия шума эквивалентного наблюдения частоты, т.е. шума с выхода дискриминатора, пересчитанного к его входу при нулевой расстройке по частоте ^[2]:

$D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{6}{q_{c/n_0}T^3}(1+\frac{1}{q_{c/n_0}T}).$

Сравнение с другими ЧД

Интересно сравнить дисперсию шумов по входу для различных дискриминаторов:

Дисперсия шума на входе дискриминатора с временным сдвигом квадратурных компонент "cross". Обозначим ее как $D_1$ :

$D_1 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{1}{q_{c/n_0}T_1^3}(1+\frac{1}{2q_{c/n_0}T_1}).$

Дисперсия шума на входе рассматриваемого в этой статье дискриминатора:

$D_2 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{6}{q_{c/n_0}T_2^3}(1+\frac{1}{q_{c/n_0}T_2}).$

Пусть cross дискриминатор реализован по схеме без перекрытия, тогда $T_2 = 2T_1$ и

$\frac{D_2}{D_1} = \frac{6}{8}$ ,

или для СКО:

$\sigma_2 = 0.866*\sigma_1$ .

Дискриминатор cross проигрывает $I_kI'_k+Q_kQ'_k$ около 15% по СКО во всем диапазоне с/ш. На рисунке ниже приведен график зависимости СКО эквивалентных шумов представленных ЧД от отношения сигнал/шум $q_{c/n0} [[File:20151029_Сравнение СКО.png|центр|500px]] == Листинг модели == Ниже представлен листинг модели, с которой сняты картинки. {{Hider |title = Листинг модели |content = <source lang = matlab> бла бла бла </source> |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold;text-align:left |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-align:center |hidden = yes }} == Ссылки == <references/> [[Категория:Дискриминаторы]] [[Категория:Оценивание частоты]]$

Ошибка цитирования Для существующего тега <ref> не найдено соответствующего тега <references/>

[1]

[2]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Заготовка}}
+{{TOCright}}
-=Описание дискриминатора=
 Дискриминатор описывается выражением <br />
@@ Строка 23: / Строка 22: @@
 </math>
-По этой методике весь интервал интегрирования в корреляторе разбивается на <math>N</math> равных частей длительностью <math>T_1</math>. На этих малых интервалах рассчитываются традиционные корреляционные суммы <math>I_{n_1, k}, Q_{n_1, k}</math>, а потом проводится их взвешенное суммирование. Чем больше <math>N</math>, тем точнее оказывается приведенная методика. Допустим "большой" коррелятор копит <math>T = 10</math> мс, тогда целесообразно выбрать <math>T_1 = 1</math> мс и <math>N = 10</math>.
+По этой методике весь интервал интегрирования в корреляторе разбивается на <math>N_1</math> равных частей длительностью <math>T_1</math>. На этих малых интервалах рассчитываются традиционные корреляционные суммы <math>I_{n_1, k}, Q_{n_1, k}</math>, а потом проводится их взвешенное суммирование. Чем больше <math>N_1</math>, тем точнее оказывается приведенная методика. Допустим "большой" коррелятор копит <math>T = 10</math> мс, тогда целесообразно выбрать <math>T_1 = 1</math> мс и <math>N_1 = 10</math>.
 == Дискриминационная характеристика ==
@@ Строка 44: / Строка 43: @@
 == Флуктуационная характеристика ==
+Дисперсия шума эквивалентного наблюдения частоты, т.е. шума с выхода дискриминатора, пересчитанного '''к его входу''' при нулевой расстройке по частоте <ref name="OptimalFLL">[[Публикация:Корогодин 2013 Потенциальные характеристики оценивания частоты в некогерентном приемнике]]</ref>: <br />
-Получены зависимости СКО шума на выходе дискриминатора от <math>q_{c/n_0}</math> для различных времен накопления. Теоретические кривые пунктирной линией.
+<math>D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{6}{q_{c/n_0}T^3}(1+\frac{1}{q_{c/n_0}T}).</math>
-[[File:20132504 CKO(q,T) ChD.png|300x300px|frame|center|]] <br />
+=== Сравнение с другими ЧД ===
+Интересно сравнить дисперсию шумов по входу для различных дискриминаторов:
-Дисперсия шума эквивалентного наблюдения частоты, т.е. шума с выхода дискриминатора, пересчитанного '''к его входу''' при нулевой расстройке по частоте: <br />
+* Дисперсия шума на входе [[Дискриминатор частоты с временным сдвигом квадратурных компонент|дискриминатора с временным сдвигом квадратурных компонент "cross"]]. Обозначим ее как <math>D_1</math>:
-<math>D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{1}{q_{c/n_0}T^3}(1+\frac{1}{2q_{c/n_0}T}).</math>
+:<math> D_1 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{1}{q_{c/n_0}T_1^3}(1+\frac{1}{2q_{c/n_0}T_1}).</math>
+* Дисперсия шума на входе рассматриваемого в этой статье дискриминатора:
-Интересно сравнить дисперсию шумов по входу для разных дискриминаторов. На данный момент у нас есть:
+:<math> D_2 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{6}{q_{c/n_0}T_2^3}(1+\frac{1}{q_{c/n_0}T_2}).</math>
-* Собственно дисперсия шума на входе рассматриваемого в этой статье дискриминатора. Обозначим ее как <math>D_1</math>:
-<math> D_1 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{1}{q_{c/n_0}T_1^3}(1+\frac{1}{2q_{c/n_0}T_1}).</math>
+Пусть cross дискриминатор реализован по схеме без перекрытия, тогда <math>T_2 = 2T_1</math> и
-* Дисперсия шума на входе оптимального при низком отношении сигнал/шум частотного дискриминатора (тот, который <math>I_kI'_k+Q_kQ'_k</math>). Формула из диссера Корогодина И. В., или, например, из этой [[Публикация:Корогодин 2013 Потенциальные характеристики оценивания частоты в некогерентном приемнике|статьи]]. Обозначим ее как <math>D_2</math>:
+:<math>\frac{D_2}{D_1} = \frac{6}{8}</math>,
-<math> D_2 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{6}{q_{c/n_0}T_2^3}(1+\frac{1}{q_{c/n_0}T_2}).</math>
+или для СКО:
+:<math>\sigma_2 = 0.866*\sigma_1</math>.
-Вообще говоря, время накопления в корреляторах может быть различно. Если принять равными времена <math>T_1</math> и <math>T_2</math>, получится что дискриминатору с временным сдвигом квадратур (c <math>D_1</math>) нужны будут квадратуры, накопленные на суммарном времени <math>2T_1</math> и разбитые по времени пополам. Для корректности сравнения положим, что во втором дискриминаторе (у которого <math>D_2</math>) коррелятор копит на времени <math>T_2 = 2T_1</math>. Разделим <math>D_2</math> на <math>D_1</math>. После нехитрых вычислений окажется, что
+Дискриминатор cross проигрывает <math>I_kI'_k+Q_kQ'_k</math> около 15% по СКО во всем диапазоне с/ш. На рисунке ниже приведен график зависимости СКО эквивалентных шумов представленных ЧД от отношения сигнал/шум <math>q_{c/n0}
-<math>\frac{D_2}{D_1} = \frac{6}{8}</math>, т. е. <math>D_2 = 0.75*D_1</math> или для СКО:<math>\sigma_2 = 0.866*\sigma_1</math>.
-Таким образом, по дисперсии шумов наблюдается не очень то большая разница между сравниваемыми дискриминаторами. На рисунке ниже приведен график зависимости СКО эквивалентных шумов представленных ЧД от отношения сигнал/шум q_{c/n0}.
 [[File:20151029_Сравнение СКО.png|центр|500px]]
@@ Строка 77: / Строка 75: @@
   |title = Листинг модели
   |content = <source lang = matlab>
-clear all
+  бла бла бла
-clc
-close all
-plotDX = 1; %считаем ДХ
-plotFX = 0; %считаем дисперсию шумов
-if plotDX
-    N = 3000;
-    stdn_IQ = 8;
-    Tc = 0.005;
-    qcno_dB = 45;
-    qcno = 10^(qcno_dB/10);
-    wdop_real = 2*pi*100;
-    wdop_oporn = [wdop_real-2*pi*(1/Tc):2*pi*(2/Tc)/500:wdop_real + 2*pi*(1/Tc)];
-    UdFLL = zeros(1, length(wdop_oporn));
-    A_IQ = stdn_IQ * sqrt(2 * qcno * Tc);
-    Sd = A_IQ^2*Tc;
-    for k = 1:N
-        for j = 1:length(wdop_oporn)
-            n_I_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
-            n_I = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
-            n_Q_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
-            n_Q = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
-            phi_real = [pi/3 pi/3 + Tc*wdop_real(1)];
-            phi_oporn =[pi/4 pi/4 + Tc*wdop_oporn(j)];
-            m_I_old =  A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
-            m_I = A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
-            m_Q_old = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
-            m_Q = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
-            I_old = m_I_old + n_I_old;
-            I = m_I + n_I;
-            Q_old = m_Q_old + n_Q_old;
-            Q = m_Q + n_Q;
-            UdFLL(1, j) = UdFLL(1,j) + I*Q_old - Q*I_old;
-        end
-        if ~mod(k, N/10)
-            fprintf('Progress %d%%\n', k*100/N)
-        end
-    end
-    UdFLL_mean = A_IQ^2*(sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn)*Tc/2 /pi)).^2.*sin((wdop_real(1)-wdop_oporn)*Tc);
-    UdFLL = UdFLL/N;
-    figure
-    plot((wdop_real-wdop_oporn)/2/pi,[UdFLL; UdFLL_mean; Sd*(wdop_real-wdop_oporn)]);
-    ylim([1.1*min(UdFLL_mean) 1.1*max(UdFLL_mean)])
-    grid on;
-    xlabel('\Delta f, Гц')
-    ylabel('M[u_{Д}]')
-    title(['q = ' num2str(qcno_dB) ' дБГц, T = ' num2str(Tc) ' c'])
-end
-if plotFX
-    N = 5000;
-    stdn_IQ = 8;
-    Tc = 0.02;
-    qcno_dB = [10:1:50];
-    wdop_real = [2*pi*100];
-    wdop_oporn = [2*pi*100];
-    D_etta_FLL = zeros(1,length(qcno_dB));
-    CKO_etta_FLL_teor = nan(1,length(qcno_dB));
-    for i = 1:length(qcno_dB)
-        fprintf('qcno_dB = %.0f\n', qcno_dB(i));
-        qcno = 10^(qcno_dB(i)/10);
-        A_IQ = stdn_IQ * sqrt(2 * qcno * Tc);
-        UdFLL = nan(1, N);
-        for k = 1:N
-            for j = 1:length(wdop_oporn)
-                n_I_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
-                n_I = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
-                n_Q_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
-                n_Q = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
-                phi_real = [pi/3 pi/3 + Tc*wdop_real(1)];
-                phi_oporn =[pi/4 pi/4 + Tc*wdop_oporn(j)];
-                m_I_old =  A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
-                m_I = A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
-                m_Q_old = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
-                m_Q = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
-                I_old = m_I_old + n_I_old;
-                I = m_I + n_I;
-                Q_old = m_Q_old + n_Q_old;
-                Q = m_Q + n_Q;
-                UdFLL(1, k) = I*Q_old - Q*I_old;
-            end
-        end
-        D_etta_FLL(1,i) = mean((UdFLL - mean(UdFLL)).^2);
-        CKO_etta_FLL(1,i) = sqrt(D_etta_FLL(1,i));
-        CKO_etta_FLL_teor(1,i) = sqrt((A_IQ^2*Tc)^2*(1/(qcno*Tc^3))*(1 + 1/(2*qcno*Tc)));
-    end
-    figure
-    plot(qcno_dB, CKO_etta_FLL, 'r*', qcno_dB, CKO_etta_FLL_teor, 'g')
-    xlabel('q_c/n0, дБГц')
-    ylabel('\sigma_{вых} ЧД')
-    grid on
-end
 </source>
   |frame-style = border:1px solid Plum

Дискриминатор частоты оптимальный при малом отношении сигнал/шум — различия между версиями

Версия 12:15, 2 ноября 2015

Содержание

Особенности работы

Дискриминационная характеристика

Флуктуационная характеристика

Сравнение с другими ЧД

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

SRNS Wiki

Рабочие журналы

Приватный файлсервер

QNAP Сервер

Инструменты