11.11.2015 Взять и поделить или деление по модулю

Есть некоторая неуверенность в результатах работы функций взятия модуля, для борьбы с которой составлена эта памятка.

Лично я привык к работе функции mod(a, b) в MATLAB, которая приводит a к диапазону [0 b] или [b 0] (в зависимости от знака b) путем прибавления/вычитания целого числа b к/из a. Что выражается в формуле:

mod(a, b) = a - floor(a ./ b)*b,

где функция floor - округление в сторону минус бесконечности.

Операция взятия остатка по модулю замечательна своими свойствами:

(a+b)mod n = [a(mod n) + b(mod n)]mod n

(a-b)mod n = [a(mod n) - b(mod n)]mod n

(a*b)mod n = [a(mod n) * b(mod n)]mod n

[c*(a+b)]mod n = [c*a(mod n) + c*b(mod n)]mod n

Как оказалось, делить можно по-разному, в зависимости от функции, которую мы используем для округления. Для себя я теперь разделяю понятия остатка от деления (remainder after devision) и приведения числа по модулю (modulus after devision). Первое - результат школьного деления столбиком, где остатку приписывается знак согласно принятому соглашению. В этом случае для округления используется fix() - truncated division. Второе - приведение числа к диапазону, использует floor() - floored division. Результаты будут отличаться тогда, когда аргументы имеют разный знак.

Так какие функции и операторы реализуют остаток от деления, какие взятие по модулю, и как они зависят от типов аргументов? Ниже представлены результаты, полученные на Oryx 161, компилятор из Xilinx SDK 2014.4 ( gcc version 4.8.3 20140320 (prerelease) (Sourcery CodeBench Lite 2014.05-23)).

Классический %

Оператор %  

(int(13)) % (int(-17))   = 13
(int(13)) % (int(-7))    = 6
(int(13)) % (int(-5))    = 3
(int(13)) % (int(-1))    = 0
(int(13)) % (int(1))     = 0
(int(13)) % (int(5))     = 3
(int(13)) % (int(7))     = 6
(int(13)) % (int(17))    = 13
(int(-13)) % (int(-17))  = -13
(int(-13)) % (int(-7))   = -6
(int(-13)) % (int(-5))   = -3
(int(-13)) % (int(-1))   = 0
(int(-13)) % (int(1))    = 0
(int(-13)) % (int(5))    = -3
(int(-13)) % (int(7))    = -6
(int(-13)) % (int(17))   = -13
(unsigned int(13)) % (int(-17))  = 13
(unsigned int(13)) % (int(-7))   = 13
(unsigned int(13)) % (int(-5))   = 13
(unsigned int(13)) % (int(-1))   = 13
(unsigned int(13)) % (int(1))    = 0
(unsigned int(13)) % (int(5))    = 3
(unsigned int(13)) % (int(7))    = 6
(unsigned int(13)) % (int(17))   = 13
(int(13)) % (unsigned int(1))    = 0
(int(13)) % (unsigned int(5))    = 3
(int(13)) % (unsigned int(7))    = 6
(int(13)) % (unsigned int(17))   = 13
(int(-13)) % (unsigned int(1))   = 0
(int(-13)) % (unsigned int(5))   = 3
(int(-13)) % (unsigned int(7))   = 5
(int(-13)) % (unsigned int(17))  = 5
(unsigned int(13)) % (unsigned int(1))   = 0
(unsigned int(13)) % (unsigned int(5))   = 3
(unsigned int(13)) % (unsigned int(7))   = 6
(unsigned int(13)) % (unsigned int(17))  = 13

Следует обратить внимание:

• int a % uint b = mod(*(uint*(&a)), b) - результаты для -13%(int 7) и -13%(uint 7) различаются; если брать int % uint, то int интерпретируется как uint, например, -1 превращается в 2^32-1.
• uint a % int b = b<0 ? a : mod(a, b) - взятие uint % отрицательного числа - холостая операция, результат - исходный uint
• int a % int b = sign(a) * mod(|a|, |b|) - как подсказывает стандарт, до C (ISO 1999) и C++ (ISO 2011) знак зависел от реализации, теперь же применяется знак делимого.
• int a % int b = (MATLAB)rem(a, b) - ведет себя как функция rem() в MATLAB: rem(a, b) = a - fix(a/b)*b, где fix() - функция округления в сторону нуля
• int a % int b ведет себя как функция mod() в MATLAB только при совпадении знаков аргументов, иначе есть смещение на b (за исключением точек, в которых результат ноль)

Выводы:

• Оператор % дает в нашей системе остаток от деления (truncated division)

Для наглядности построены графики (доступен fig):

Оператор %, MATLAB mod()  

Ссылки

— Корогодин Илья • 18:40, 11 ноября 2015 • нет комментариев

[ Хронологический вид ]Комментарии

(нет элементов)

Войдите, чтобы комментировать.